نحو استكشاف سِرّ توزيع الأعداد الأولية (1): عن المربعات الكاملة للأعداد الفردية غير القابلة للقسمة على 3

ملاحظات تمهيدية:

رغم التقدم الكبير الذي عرفته نظرية الأعداد (Theory of Numbers) والنظرية التحليلية للأعداد (Analytical Theory of Numbers)، فإن أسراراً كثيرة عن تشكُّل الأعداد وتشابك العلاقات بينها ما زالت لم تكتشف بعد. إن الآتي من الزمان قد يشهد قفزة نوعية في هذا الإطار، مما سيمكن البشر من استكشاف المزيد من الأسرار في هذا المضمار، خاصّة في إطار توزيع الأعداد الأولية (Distribution of Primes) الذي يبدو للوهلة الأولى شبه عشوائي (Quasi-Random)؛ وقد يكون غير ذلك، ما دام هذا التوزيع يخضع لقوانين رياضياتية لم يستطع الإنسان الكشف عنها منذ أكثر من 20 قرناً، أي منذ التحدي الذي رفعه العالم اليوناني أوقليديس حول لانهائية (Infinity) الأعداد الأولية ووجود سِرّ خفيّ وراء توزيعها ضمن النظام العددي.

1.    عن المربعات الكاملة للأعداد الفردية: تجسير نحو الأعداد الأولية؟

كثيراً ما كان أساتذتنا في المدرسة الابتدائية والثانوية العامة يصرون على صياغة المربعات الكاملة (Square Numbers) للأعداد الطبيعية بالرمز المعروف "n2"، حيث أن nℕ، مع العلم أنهم لم يكونواْ يكترثون بتمييز مربعات الأعداد الزوجية (Odd Integers) عن الأعداد الفردية (Even Integers)، خاصة كل ما يتعلق بالأعداد الفردية غير القابلة للقسمة الأُقليدية (Euclidian Division) على العدد 3، والتي تمتُّ بصلات قوية مع الأعداد الأولية.

إن الاهتمام بالمربعات الكاملة للأعداد الفردية قد يساعد المرء على سبر أغوار الأعداد الأولية (Prime Numbers) وسر توزيعها (Secret of Distribution) داخل نظام الأعداد الطبيعية (System of Integers). وبما أن الأعداد الأولية بحكم تعريفها العامّ فرديّةٌ ولا تقبل القِسمة في المجموعة إلّا على نفسها و 1، فإنها لا تقبل القسمة على العدد المحوري 3؛ ولذلك فلا تقبل القسمة أيضاً على العدد المحورييْن الآخرين، ألا وهما 6 و9.

  ترمي هذه الورقة إلى بناء صيغة رياضياتية للمربعات الكاملة (Full Squares) للأعداد الطبيعية الفردية غير القابلة للقسمة على 3، مع الإشارة إلى أهميتها بالنسبة لتشكُّل الأعداد الأولية (Primes’ Formation)  داخل المجموعة ، مع العلم أننا سنعود إلى تحليل العلاقات العجيبة بين تلك المربعات الكاملة والأعداد الأولية في مقالات علمية قادمة.

2.  المربعات الكاملة للأعداد الصحيحة بين الزوجي والفردي: أية صِيَغٍ رياضياتية؟

لنتذكر أولاً وقبل كل شيء الصيغة العامة للمربعات الكاملة لكل الأعداد الصحيحة (Integers) زوجية كانت أم فردية. لنرمز إلى مجموعة هذه المربعات الكاملة (Set of Square Numbers) بالحرف العريض S. إذاك يمكن أن نصيغ S في المجموعة N* على الشكل التالي:

{...25 ؛16 ؛9 ؛4 ؛1} = S                 (1)                       

لاحظ من خلال المعادلة البسيطة رقم (1) أعلاه أن المربعات الكاملة ما هي في الحقيقة إلا مجموع الأعداد الصحيحة الفردية (Sum of Even Integers). وبما أن الأعداد الصحيحة الفردية تحتكم لمتتالية حسابية (Arithmetic Progression) ذات حدٍّ أوّل (First Term) يساوي 1 وحدٍّ ساكٍن (Constant Term) يساوي 2، فإن الصيغة الرياضياتية العامّة للمربعات الكاملة (Square Numbers : Sn) كمجموع لحدود المتتالية الحسابية هي:

Sn = n [1 + (2n-1) ]/2 = n2       (2)

 وهي كما تبدو للعيان صيغة بديهية واضحة.

دعونا الآن نبني صيغة رياضياتية للمربعات الكاملة للأعداد الفردية التي تنتمي إليها الأعداد الأولية (Primes). لنرمز أولاً إلى المربعات الكاملة للأعداد الفردية (Even Numbers) بِ "S(EN)"، لنكتب:

 {...81 ؛49؛ 25؛ 9؛ 1} = (S(EN         (3)        

  نلاحظ هنا أن المجموعة S(EN)  تتشكَّل من الأعداد التي تحتكِمُ فوارقها الأولية (First Differences)لمتتالية  حسابية ذات حدٍّ أول (First Term) يساوي 8 وحدٍّ ساكن (Constant Term) يساوي 8 أيضاً. ولذلك، فلا مناصّ من كتابة المربعات الكاملة للأعداد الفردية (Sen) على الشكل التالي:

Sen = 1 + 8 + (k – 1)8 = 8k + 1     (4)               

    حيث أن الفوارق الأولية (First Differences) للعدد الطبيعي k في المعادلة رقم (4) تحتكم إلى متتالية حسابية يساوي حدُّها الأول 1 ويبلغ حدُّها الساكن 1 أيضاً، أي أن k هو مجموع العناصر المكونة لهذه المتتالية. ولذلك، فمن المنطقي كتابة المربعات الكاملة للأعداد الفردية (Sen) كما يلي:

Sen  = 8[n(n + 1)/2] +1                                  

 4n2 + 4n + 1 =                                 (5)

n∈ℕ                          

حاولواْ أن تتأكَّدواْ بأنفسكم من أن المعادلة رقم (5) تمكننا من الحصول على كل المربعات الكاملة لجميع الأعداد الفردية، بما فيها الأعداد القابلة للقسمة على 3 (كما على 9). ولهذا الغرض، قومواْ باستبدال بكل الأعداد الصحيحة من 0 إلى الّلانهائي.

3.   الصِّيغ الرياضياتية للأعداد الفردية التي لا تقبل القسمة الأقليدية على 3: أية براهين؟ 

رغم أهمية المعادلة رقم (5) أعلاه، والتي تمكن من صياغة المربعات الكاملة (Formulation of Square Numbers) لكل الأعداد الصحيحة الفردية، فقد يكون من الأهم بناء صيغة رياضياتية تسعى إلى ضمّ كل الأعداد الصحيحة الفردية (Even Integers) غير القابلة للقسمة الأُقليدية على العددين المحورييْن الساحريْن 3 و9، وهي الأعداد التي تحوي كل الأعداد الأولية (Prime Numbres). وفي هذا الإطار، تجدر الإشارة إلى أن مجموعة الأعداد الصحيحة الفردية التي لا تقبل القسمة على 3 تتكون من مجموعتين فرعيتيْن (SubsetsS1(EN*)  و S2(EN*)، بحيث أن:

{S1(EN*) = {1 ; 7 ; 13 ; 19      (6)                     

    {... 23;17 ;S2(EN*) = {5; 11    (7)                    

قد يلاحظ القارئ الكريم أن العبارتيْن الرياضياتييْن المرقمتيْن (6) و (7) أعلاه تشملان أعداداً أولية ومركبة تحتكم كلها إلى متتاليتيْن حسابيتيْن بحدٍّ ساكن (Constant Term) يساوي 6 كعدد محوري هام في الرياضيات، وقد يكون الإنسان لم يستطع بعد فك طلاسمه المتلاطمه العجيبة، إلى جانب العددين 3  و 9  الذين قد يشكلان إلى جانب العدد 6، مفتاح الكوْن كلِّه، بالترابط مع أعدد صحيحة أخرى (خاصة الأعداد الأولية شبه السحرية: Quasi-Magic Primes) لا يسع المجال للتطرق إليها في هذه الورقة البحثية؛ ونعود لتمحيص هذه الإشكاليات الرياضياتية العجيبة في أوراق أخرى قادمة.

على أيٍّ، دعونا نعود إلى العبارتين الرياضياتيْن (6) و (7) أعلاه. بما أن الأعداد الصحيحة الفردية غير القابلة للقسمة على 3 تحتكم لمتتاليتيْن حسابيتيْن مع حدٍّ ساكن (Constant Term) يساوي 6  وحدّيْن أوليْن يبلغان 1 و 5 ، فإنه من المنطقي أن نكتب الأعداد الفردية غير القابلة للقسمة على 3 على الشكل التالي، مع العلم أن  nℕ*:

  EN1* = 1 + 6(n – 1) = 6n - 5          (8)                 

   1 - EN2* = 5 + 6(n – 1) = 6n    (9)            

لاحظ أيضاً أن كل الأعداد الصحيحة الفردية (EN*) التي لا تقبل القسمة على 3 يمكن كتابتها هكذا:

EN* = 6k ± 1 ; k∈ℕ         (10)

ولهذا فإن بناء صيغة رياضياتية هامّة للمربعات الكاملة للأعداد الصحيحة الفردية التي لا تقبل القسمة على 3 والتي تحوي كل الأعداد الأولية التي برهن أوقليديس عن لانهائية عددها منذ أكثر من 20 قرناً، يجب أن تستند إلى المعادلة الرئيسية رقم (10)أعلاه، والتي تعتمد على العدد السحري المحوري 6. إلا أن القارئات والقرّاء الكِرام قد يلاحظون جلياً أن العدد الصحيحk  في المعادلة رقم (10) يحتكم بنفسه لمتتالية حسابية ذات حدٍّ أوّل (First Term) يساوي 0 وحدٍّ ساكن (Contsant Term)  قيمته 1؛ أي أن حدّه العام (General Term) هو:

k = n ، مع العِلم أن  n∈ℕ.

وطبقا لما سبق أن برهننا عنه أعلاه، فقد صار من الممكن والمنطقي أن نبني صيغة رياضياتية متكاملة للمربعات الكاملة (Perfect Squares) للأعداد الفردية غير القابلة للقسمة على 3. ولبلوغ هذا الهدف، دعونا نتأمّل المعادلة رقم (10) أعلاه، لنكتب بكل ثقة:

6n ± 1]2 = 36n2± 12n + 1]        (11)                

كما قد يفهم المرء بكلّ أريحية، تمثِّل المعادلة رقم (11) كلّ الأعداد الصحيحة الفرديّة غير القابلة للقسمة على 3. للتأكد من ذلك، يمكن أن نحدد قِيَم العدد الصحيح n،  لنتحقّق في أخر المطاف أن معادلتنا تحقٌّق شروط جميع المربعات الكاملة للأعداد الصحيحة الفردية غير القابلة للقسمة على 3.

4.   مناهج البرهنة على صيغ المربعات الكاملة للأعداد الفردية غير القابلة للقسمة على 3: نحو فهم أحسن لتوزيع الأعداد الأولية  

        بما أن عِلْم الرياضيات حقل معرفي استنباطي (Deductive Science) بامتياز، فإنه من اللازم البرهنة على صيغتنا الرياضياتية باستعمال طريقة البرهنة بالترجُّع (Mathematical Induction: Raisonnement par récurrence ) مثلاً.  لاحظ أيضاً أن طرح أي مربع كامل للأعداد الصحيحة غير القابلة للقسمة على 3 من متعدِّدة الحُدود (Polynomial) في المعادلة رقم (10) لا بدّ أن يتمخّض عنه محدِّدٌ خوارزميٌّ (Alkhwarizmi’s Determinant)، Δ ،يساوي:

Δ = [12(6n ± 1)]2                      (12)                          

يتضح من البراهين الرياضياتية أعلاه أن المعادلة رقم 11 هي التي تحدد المربعات الكاملة للأعداد الصحيحة غير القابلة للقسمة على 3، بما فيها الأعداد الصحيحة الأولية (Prime Integers). وتجدر الإشارة في هذا الإطار إلى أن أعقد إشكالية تتمثل أساساً في فرز الأعداد الأولية (Prime Numbers) عن الأعداد المركبة (Composite Numbers) ضمن الأعداد الفردية غير القابلة للقسمة، وذلك بالاستناد إلى الصياغة الرياضياتية الممثلة في المعادلة رقم (11).

 في الأوراق البحثية القادمة، سنحاول فك هذه الإشكالية، وذلك بالاعتماد على براهين رياضياتية أكثر تعقيدا، مع العلم أن تلك البراهين المعقدة قد تتجاوز المجموعة لتستند إلى المجموعات الأخرى المعروفة ابتداء بالمجموعة وانتهاء بمجموعة الأعداد العُقدية .

تابعونا: إلى اللقاء في الورقة البحثية القادمة !!!

ما رأيك بما قرأت؟
اذا أعجبك المقال اضغط زر متابعة للكاتب و شاركه مع الأصدقاء على مواقع التواصل الاجتماعي حتى يتسنى للكاتب نشر المزيد من المقالات الجديدة و المفيدة و الإيجابية..

هل تحب القراءة؟ كن على اطلاع دائم بآخر الأخبار من خلال الانضمام مجاناً إلى نشرة جوَّك الإلكترونية

تعليقات
ابراهيم منصوري - Jul 27, 2020 - أضف ردا

كل عبارة رياضياتية من أمثال ّ"n2" تعني "n اُسّ 2".

يجب أن تكون مسجل دخول لإضافة تعليق.

يجب أن تكون مسجل دخول لإضافة تعليق.

نبذة عن الكاتب