من مفاهيم علم الإحصاء

نظرية معامل الارتباط

إن الارتباط أو العلاقة بين متغيرين فأكثر يحصل في القيم المتناظرة في مختلف الظواهر غالبًا، ومدلولاتها كما يلي:

الموجب: علاقة طردية

السالب: علاقة عكسية

الصفر: لا علاقة بينهما

اقرأ أيضًا: مقدمة في علم الإحصاء

وتوجد عوامل يعتمد عليها الارتباط في الحساب، وسنعتمد على معامل ارتباط بيرسون لشهرته رياضيًّا في أوساط المعارف الإنسانية والاجتماعية والشخصية.

P= (∑_(k=1)^n▒〖(xk- )(yk-Y)〗)/√(∑_(k=1)^n▒〖(xk- ) 〖 ^2∑_(k=1)^n(yk-Y)〗^2 〗)

خذ مثلًا: مجموعتين الأولى تنتمي إلى إحداثيات الصادات والأخرى تنتمي إلى نظائرها العلاقية من محور السينات، ثم نحسب معامل ارتباط بيرسون من بيانات الجدول التالي:

(xk-X)^2(yk-Y)^2(yk-Y)(xk-X)xk-XYk-Yxkykk

12.96

9 

10.8-3.6-3251

6.7664-20.8-2.68632

21.1616-18.4-4.64143

11.56100343.4109104

32432418010181018n=5

6.76513185.62.6372840المجموع

0.2704102.637.120.527.45.68الوسط الحسابي

XYرمز المتوسط الحسابي

معامل بيرسون 

P=(185.6)/((6.76x513)^2)=(185.6)/(3468 )=0.32

حيث:

 P : معامل ارتباط بيرسون

x : المتغير المستقل

 :Xالمتوسط الحسابي لقيم x

y : المتغير الغير مستقل

 : Yالمتوسط الحسابي لقيم y

n : عدد القيم

K: رتبة القيم العددية بالتسلسل

قيمة معامل الارتباط لبيرسون ≤∓1

تحليل النتائج

المعامل موجب إذا كانت العلاقة بين المتغيرين(x,y) طردية

قيمة المعامل =0.32، وهو أقل من 0.5 لذلك تعد العلاقة ضعيفة.

اقرأ أيضًا: من العلوم العددية عند العرب

نظرية الوسط الحسابي

هو مجموع قيم مقسومًا على عددها، ويدل على مركز تلك القيم، وصيغته الرياضية:

Mean=(∑_(k=1)^n▒xk)/n

Mean الوسط الحسابي

ويكون مجموع الانحرافات السالبة والموجبة للقيم عن المتوسط أو الوسط الحسابي مساويًا للصفر.

مثال: افترض أن لدينا قيمًا هي 5,16,87,0

Mean = 27= (0+87+16+5)/4

أي مركز القيم هو 27

deviation from the mean(d) =(5-27)+(16-27)+(87-27)+(0-27)=-22+-11+60+-27=0

مجموع الانحرافات عن الوسط الحسابي، ويصح الوسط إذا كان مجموعها صفرًا لأنه يحقق مركزيته.

نظرية الانحراف المعياري  Standard deviation

إن مشهد الوسط الحسابي للبيانات وللمتغيرات وما شابهه لا يعطي صورة كاملة عن علاقة البيانات ببعض بعضًا من تمركز يجمعها أو تشتت يضبطها لتظل مقيدة مع مجموعها، ويشهد التشتت مشهدًا ثانيًا يصف الانحراف أو التغير أو التشتت لتلك القيم عن بعضها بعضًا وباكتمال المشهدين ننال تكاملية الصورة حول البيانات.

ومن جانب آخر نأخذ الانحراف المعياري لقياس تشتت كل قيمة عن المتوسط الحسابي، وعلى نحو العام فهو مقياس لمتوسط مربعات انحراف القيم عن المتوسط الحسابي، وصيغته الرياضية هي:

S.D=(∑_(k=1)^n▒(xk- )^2 )/n

S.D : الانحراف المعياري

والسبب في الأخذ بمربع الانحرافات (الفروق) بدلًا من الأخذ بقيم الانحرافات نفسها هو أن بالثاني يكون المجموع الحتمي صفرًا لما به من إشارات سالبة وموجبة، في حين إذا ربعناها أزلنا الإشارة السالبة عنها؛ لأن مربع القيمة لا يكون إلا موجبًا.

مثال: افترض وجود 4 قيم هي:10,30,50,90

45=(90+50+30+10)/4=

: المتوسط الحسابي لقيم Xu

مجموع مربعات الانحرافات عن الوسط الحسابي

1----- 

2----------- 

وبقسمة (1) على (2) نحصل على متوسط مجموع مربعات الانحرافات عن الوسط الحسابي:

والجذر التربيعي لهذا المتوسط هو الانحراف المعياري ويساوي 29.6 =30 درجة معيارية.

اقرأ أيضًا: العدد «صفر».. وأثره في الرياضيات

نظرية معادلة الانحدار  equation of slope (or straight line)

إذا كان هناك مجموعة قيم لـ س ونواظرها العلاقية لـ ص، وكانت العلاقة بينهما خطًّا هندسيًّا أو معادلة خطية، فإننا نستطيع التنبؤ بذلك على أية قيمة لـ ص أو لـ س بمعرفة قيمة الآخر ثم بتطبيق المعادلة أو بالنظر إلى الرسم البياني، وهذا ما يسمى بمعادلة الانحدار، وصيغتها:

y= mx+c

حيث إن

C : الجزء المقطوع من محور الصادات أي عندما X=0

M : معدل التغير في الاحداثيات الصادية بالنسبة إلى نظائرها من الإحداثيات السينية.

ويسمى ميلًا حيث يظهر انحدار العلاقة الخطية بين الانحرافات الصادية بالنسبة إلى الانحرافات السينية

نظرية حساب المثلثات والميل

ومن قوانين حساب المثلثات ما يلي:

█(tanθ="Opposite" /"adjacent" =sinθ/cosθ@sinθ="Opposite" /"hypotenuse" @cosθ="adjacent" /"Hypotenuse" @cotθ="adjacent" /█("Opposite" @"sec" θ"=1/cos" θ@cscθ="1" /("sin" θ)))

حيث:

جا=sin

جتا=cos

ميل الخط المستقيم=ظا=tan

ظتا= cot

قا = sec

قتا=csc

الزاوية المحصورة بين محوري السينات والصادات وتكون علاقتهما الخطية.

وفي مثلث قائم الزاوية: مربع الوتر= مربع المقابل + مربع المجاور

الوتر: وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة 

المقابل: هو الضلع المقابل للزاوية

Adjacent المجاور: وهو الضلع المجاور للزاوية من جهة اليمين.

تمثيل البيانات بالهندسة التحليلية

وتوجد عدة منحنيات تمثل العلاقة بين متغيرين فأكثر ذات الدرجة التي هي أكبر من المربع وصاعدًا، أو خطًا مستقيمًا كحال معادلة الانحدار السابقة.

وقد تكون هذه المنحنيات دائرة أو مربعًا أو قطعًا مكافئًا أو زائدًا أو ناقصًا أو خطًا مستقيمًا، وكل هذه الأشكال يمكن تطبيقها على الصعيد الشكلي مستخرجين قيمًا مجهولة بسهولة جدًا.

وهو إلى ذلك تم تطوير برامج حاسوبية إلكترونية لحل كثير من المعضلات التي يصعب حلها بالأدوات التقليدية، ومنها نظام لابلاس المطبق في النظام الحاسوبي الماتلاب.

هذه هي بعض المفاهيم الإحصائية التي يعتمد عليها في دراسة الظواهر من ناحية التشتت أو التمركز فأداة التشتت الانحراف أو الفروق، وأداة التمركز الوسط الحسابي، وفي الموضوع أشياء أخرى لمن أراد المزيد.