ما هي اعداد العد؟ الاعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية!

يُمكن تقسيم الأعداد إلى مجموعات حسب ما تحتويه كل واحدة منها؛ وتتميز كلا من اعداد العد ع، الأعداد الطبيعية ط، الأعداد الصحيحة ص، الأعداد النسبية ن، والأعداد الحقيقية ح: بأنها جميعاً لها خواص متقاربة؛ مثل: أن عملية الجمع والضرب فيها تكون مغلقة؛ بمعنى أن ناتج عملية الجمع أو الضرب فيها؛ يكون من نفس المجموعة.

من المهم أن نلاحظ أن اعداد العد (ع) هي الأعداد التي نستخدمها في العد، مثل 1، 2، 3، وهكذا، وهي مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية (ط)، الأعداد الطبيعية والصحيحة تستخدم بشكل واسع في الرياضيات لإجراء العمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والضرب حيث تشمل الأعداد الطبيعية الأعداد الموجبة بدءًا من صفر بينما تضم الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الأعداد السالبة مما يتيح إمكانية إجراء عمليات الجمع والطرح مع هذه الأعداد بكل سهولة. جميع الاعداد الطبيعيه هي اعداد صحيحة ولكن ليست جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد طبيعية لأن الأعداد السالبة لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

ما هي اعداد العد؟

أعداد العد هي الأعداد التي نستخدمها في العد والتعداد، وتبدأ من 1 وتستمر بشكل متتابع مثل 1، 2، 3، وهكذا. وهي جزء من مجموعة الاعداد الطبيعية، التي تشمل أيضًا العدد صفر بالإضافة إلى الأعداد الموجبة. بينما الاعداد الصحيحة هي مجموعة تضم الأعداد الطبيعية والأعداد السالبة أيضًا، مثل -1، -2، -3. أما الاعداد النسبية فهي الأعداد التي يمكن كتابتها ككسر مكون من عددين صحيحين، مثل 1/2، -3/4. في حين أن الاعداد الحقيقية تشمل كل الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد، سواء كانت صحيحة أو نسبية أو حتى غير نسبية مثل الجذور التربيعية للأعداد السالبة.

أنواع الأعداد في الرياضيات ورموزها

 تقسم الأعداد إلى عدة أنواع رئيسية وكل نوع له خصائصه ورموزه الخاصة:

• الأعداد الطبيعية (ط): تكمن الإجابة عن سؤال ماهي الاعداد الطبيعية؟ في أنها الأعداد التي نستخدمها للتعداد والعد، وتشمل الأعداد الموجبة بداية من 1 وما يليها، مثل 1، 2، 3، 4، ... وتُرمز لها بالرمز "ط". يكثر السؤال عن هل الصفر من الأعداد الطبيعية؟ وتكون الإجابة لا، الصفر ليس من الأعداد الطبيعية حيث أن الأعداد الطبيعية تبدأ عادة من 1.
• الأعداد الصحيحة (ص): هي مجموعة تضم الأعداد الطبيعية والأعداد السالبة، مثل -1، -2، -3، بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية. تُستخدم الأعداد الصحيحة في عمليات الجمع والطرح والضرب، لكنها لا تشمل الأعداد العشرية أو الكسرية. يُرمز لها بالرمز "ص".
• الأعداد النسبية (ن): هي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسر بين عددين صحيحين، حيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام لا يساوي صفرًا. مثل 1/2، -3/4، 5/1 (التي تمثل العدد 5). تشمل الأعداد النسبية الأعداد الصحيحة أيضًا، لأنها يمكن كتابتها على شكل كسر (مثل 5 = 5/1). يُرمز لها بالرمز "ن".
• الأعداد الحقيقية (ح): هي مجموعة شاملة تحتوي على جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد. تشمل الأعداد الحقيقية الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد النسبية وكذلك الأعداد غير النسبية مثل الجذور التربيعية للأعداد التي لا تكون مربعات صحيحة (مثل √2)، والأعداد العشرية غير المنتهية وغير الدورية. يُرمز لها بالرمز "ح".

مجموعات الاعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية

مجموعات الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية تمثل الأساس الذي تُبنى عليه معظم العمليات الحسابية في الرياضيات. الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها في العد والتعداد وهي تبدأ من الصفر أو من الواحد وتستمر في التسلسل الموجب (مثل 1، 2، 3، 4، ...). أما الأعداد الصحيحة فتشمل الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الأعداد السالبة مثل -1، -2، -3، مما يتيح إمكانية إجراء العمليات الحسابية بين الأعداد الموجبة والسالبة. الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسر بين عددين صحيحين حيث يسمح بأن يكون المقام عددًا غير صفر، مثل 1/2 أو -3/4. أما الأعداد الحقيقية فهي الأكثر شمولاً وتضم جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد بما في ذلك الاعداد الحقيقيه والطبيعيه والصحيحه والنسبية بالإضافة إلى الأعداد غير النسبية مثل الجذور التربيعية للأعداد التي لا يمكن التعبير عنها ككسر.

اعداد العد

• مجموعة أعداد العد ع: هي الأعداد التي نستخدمها في العد والحساب؛ ولا يعتبر الصفر واحداً منها، وتنتمي للمجموعة الآتية: {1، 2، 3، 4، 5،...}، ويكون رمز مجموعة اعداد العد هو N.

الاعداد الطبيعية

الاعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها في العد والحساب اليومي وتبدأ من الصفر أو الواحد وتستمر إلى ما لا نهاية (0، 1، 2، 3...). تعد هي أساس الرياضيات وتستخدم في مجالات متعددة مثل الإحصاء والهندسة.

• مجموعة الأعداد الطّبيعية ط: هي مجموعة أعداد العد مضافاً إليها الصفر؛ والتي تنتمي للمجموعة الآتية: {0، 1، 2، 3، 4، 5،...}

الاعداد الصحيحة

الاعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد التي تشمل الأعداد الموجبة والأعداد السالبة والصفر حيث أن الصفر هو من الأعداد الصحيحة وهذه إجابة عن سؤال هام هو هل الصفر من الأعداد الصحيحة؟. تُرمز لها بالرمز "ص" وتسمى أيضاً مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية z حيث يتم البحث عن هذا السؤال بكثرة هل الاعداد الصحيحة هي اعداد نسبية؟ وتكون إجابته نعم الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية لأن كل عدد صحيح يمكن تمثيله على شكل كسر. تنقسم الأعداد الصحيحة إلى ثلاث مجموعات: 

• مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ص+: هي مجموعة الأعداد الأكبر من الصفر؛ وتنتمي للمجموعة الآتية: {1، 2، 3، 4، 5،...}
• مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة ص-: هي مجموعة الأعداد الأصغر من الصفر؛ والتي تنتمي للمجموعة الآتية: {- 1، - 2، - 3، - 4، - 5،...}
• مجموعة الأعداد الصحيحة ص: هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ص+؛ مضافاً إليها الصفر ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة ص-؛ وتنتمي للمجموعة الآتية: {..........، - 4، - 3، - 2، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، .........}

الاعداد الحقيقية

الاعداد الحقيقية هي مجموعة تضم جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد، تشمل مجموعة الأعداد الحقيقية ح كل من: الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية وغير النسبية (مثل الجذور التربيعية للأعداد التي لا تكون مربعات صحيحة). وتشمل أيضًا الأعداد العشرية المنتهية وغير المنتهية.

• مجموعة الأعداد الحقيقية ح: هي مجموعة تضم مجموعة الأعداد النسبية ن ومجموعة الأعداد غير النسبية ن-، كما يمكن تقسيم مجموعة الأعداد الحقيقية ح إلى مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ح+، مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة ح-، مضافاً إليهما الصفر.

الاعداد النسبية وغير النسبية

الاعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسر بين عددين صحيحين، مثل 1/2، -3/4، بينما الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي لا يمكن تمثيلها ككسر مثل الجذور التربيعية للأعداد غير المربعة (مثل √3) أو الأعداد العشرية غير المنتهية وغير الدورية.

• مجموعة الأعداد النسبية ن: هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر؛ أيّ بسط ومقام؛ بشرط أن يكون كلا منهما عددًا صحيحًا مثل: ½، ⅓، ¼، ⅛ وغيرها؛ وبذلك فالأعداد النسبية تضمّ الأعداد الصحيحة ص والأعداد غير الصحيحة ص-؛ وتتميّز الأعداد النسبية بكثافتها؛ بحيث ينحصر بين أيّ عددين نسبيين عدد لا حصر له من الأعداد النسبية.
• مجموعة الأعداد غير النسبية ن-: هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر؛ مثل: النسبة التقريبية (ط أو باي وتساوي حاصل قسمة 22 على 7) ، الجذور التربيعية لأرقام ليست لها جذور تربيعية، وكذلك الجذور التكعيبية لأرقام ليست لها جذور تكعيبية.

الاعداد الأولية والفردية والزوجية

الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي أكبر من 1 ولا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى 1، مثل 2، 3، 5، 7. بينما الأعداد الفردية هي الأعداد التي لا تقبل القسمة على 2، مثل 1، 3، 5، 7.وأخيراً الأعداد الزوجية هي الأعداد التي تقبل القسمة على 2، مثل 2، 4، 6، 8. تم اكتشاف الأعداد الأولية منذ العصور القديمة، حيث قام العالمان اليونانيان إقليدس وإراتوستينس بدراستها. وقد قدم إقليدس أول دليل على وجود أعداد أولية لا حصر لها. هناك نتيجتان مشهورتان في دراسة توزيع الأعداد الأولية تستحقان الذكر هما: نظرية الأعداد الأولية ودالة زيتا ريمان.

• مجموعة الأعداد الأولية أ: هي مجموعة الأعداد التي لا تقبل القسمة إلّا على نفسها والواحد الصحيح؛ وتنتمي للمجموعة الآتية: {2، 3، 5، 7، 11،...}
• مجموعة الأعداد الفردية ف: هي مجموعة الأعداد التي لا تقبل القسمة على 2؛ وتنتمي للمجموعة الآتية: {1، 3، 5، 7، 9، 11،...}
• مجموعة الأعداد الزوجية ز: هي مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على 2؛ وتنتمي للمجموعة الآتية: {2، 4، 6، 8،...}

لا يمكننا تجاهل أثر الصفر في الرياضيات فبالرغم من أنه لا يشكل أي قيمة عددية بحد ذاته إلا أنه يعد من العناصر الأساسية في النظام الرياضي. فعلى الرغم من كونه يمثل "اللا شيء" أو "العدم" إلا أن الصفر يلعب دورًا حيويًا في العديد من العمليات الحسابية. لا يمكن للنظام الحسابي التخلي عنه، فهو أساسي في العمليات مثل الجمع والطرح، بالإضافة إلى دوره في تحديد القيم في النظام العددي العشري. من ضمن القواعد الهامة في الرياضيات أيضاً أن اي عدد اس صفر يساوي واحد وهذه القاعدة تنطبق على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر نفسه.

يختلف على كثير من الأشخاص التفرقة بين كل من نظام العد العشري والثنائي والثماني حيث أن النظام العشري هو الذي نستخدمه في حياتنا وفي أغلب أمورنا وهو ببساطة نظام الأرقام على الأساس العشري ويحتوي على 9876543210 ، عدد مكونات النظام العشري هو عشرة أرقام وهذا هو سبب تسميته بهذا الاسم حيث أنه يكبر بعد كل عشرة أرقام، لكن النظام الثنائي يعتمد على رقمين فقط وهما صفر وواحد 1 0 وبنفس الطريقة عند الانتهاء من الأرقام نضيف الرقم صفر ونزيد واحد كما هو الحال 0 1 10 11 100 101 111 ، أما نظام العد الثماني هو نظام عددي يستخدم الأساس 8 مما يعني أنه يتكون من ثمانية أرقام فقط: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، و7. يُستخدم هذا النظام في الحوسبة لتمثيل البيانات بطريقة مبسطة، حيث يتم تحويل الأرقام الثنائية إلى ثمانية بسهولة، مما يسهل قراءة البيانات ومعالجتها.