طرق شعبية لتسعير الخيارات الأمريكية

الفصل 1 مقدمة

الخيارات الأمريكية هي مشتقات مالية، وهي أداة تستمد قيمتها من أصل أساسي، وعادة ما يكون سهمًا. وصف بلاك آند سكولز (1973) خيارًا بأنه: "ضمان يمنح الحق في شراء أو بيع أحد الأصول، وفقًا لشروط معينة، خلال فترة زمنية محددة

السؤال الرئيسي لهذه الرسالة هو كيف يمكن تقييم الخيارات الأمريكية. لا تُعرف قيمة الخيار على وجه اليقين إلا عند ممارسة الخيار، سواء عند الاستحقاق أم لا. عندما يقرر المالك ممارسة الخيار أو يكون وقت استحقاق الخيار، من الممكن تحديد سعر الخيار حيث سيتم تبادل الإضراب من قبل الأصل في حالة أن الظروف مواتية لمالك الخيار. عندما تشتري الخيار، لا تعرف ما هو السعر المستقبلي للأصل الأساسي، وبافتراض أنه يتبع عملية عشوائية، من الصعب وضع سعر على هذا العقد دون معرفة ما هو تغيير السعر. تجعل هذه الميزة غير الخطية من الخيار حساب السعر لدفع ثمن هذه العقود عملية صعبة وقد كانت محط اهتمام عدد كبير من الدراسات والمنشورات المالية.

 

تتناول هذه الرسالة الطرق الأكثر شيوعًا لتسعير الخيارات الأمريكية وتنفيذها في MatLab®، بما في ذلك واجهة المستخدم الرسومية.

 

تشمل الأساليب التي تمت دراستها تسعير الخيار الأوروبي الأسود وشولز (1973) كنقطة انطلاق، متبوعة بالتقريب التحليلي لبارون أديسي ووايلي (1987). ثم تعتبر طرق الشبكية ذات الحدين والثلاثي المقدمة في Cox و Ross و Rubinstein (1979) أيضًا نماذج تقارب الفروق المحدودة AAA. الطريقة الأكثر تعقيدًا هي محاكاة المربعات الصغرى مونت كارلو المقدمة في Longstaff و Schwartz (2001).

 

يتبع تحليل طرق تسعير الخيارات المختلفة في هذه الرسالة معظم الافتراضات التي قدمها بلاك آند سكولز (1973)، ومن المفترض أن يكون سعر الفائدة على المدى القصير والأرباح معروفًا وثابتًا، ويتبع السهم الأساسي سجلًا عاديًا هندسيًا موزعًا الحركة البراونية، الأسواق بلا احتكاك وأخيرًا توجد إمكانية تشكيل محفظة خالية من المخاطر، تتكون من الخيار والأسهم الأساسية.

 

تم تنظيم الرسالة على النحو التالي: يتم توفير مسح موجز للأدبيات في الفصل التالي. تم وصف طريقة التقريب التحليلي والطرق العددية المستخدمة في الفصل 3، ويرد تنفيذها في بيئة Matlab في الفصل 4. يتم إعطاء النتائج العددية في الفصل 5. يتم عرض الاستنتاج والتطورات المستقبلية في الفصل 6.

 

يقدم الفصل 2 مسحًا لبعض المنشورات الأكثر صلة في برنامج American Option Pricing، مع التركيز على التقريب التحليلي، وشبكات الفروق وطرق الفروق المحدودة، وبشكل أكثر دقة، وأشجار ذات الحدين وثلاثية الحدود، ومخطط ضمني وضمني ونيكولسون، وكذلك على مونتي كارلو محاكاة.

 

يقدم الفصل 3 وصفاً للطرق المستخدمة ومزاياها وعيوبها وحدودهاهنا سيتم اشتقاق المعادلات المطلوبة وسيتم توفير حل لتسعير الخيارات الأمريكية.

 

يركز الفصل 4 على الخوارزميات المستخدمة وتنفيذها على بيئة MatLab، وكذلك كإجراءات لتطوير واجهة المستخدم الرسومية لتسهيل واجهة المستخدم.

 

تظهر نتائج الفصل الخامس ومقارنتها للطرق المختلفة المستخدمة، مع الأرقام المطلوبة لدعم الإجابات العددية.

 

في الفصل الأخير، تم الانتهاء من الرسالة وقدمت ملخصًا للنتائج، وكذلك مع المزيد من العمل حول هذا الموضوع.

الفصل 2 - مسح الأدب

طور بلاك أند سكولز (1973) وميرتون (1973) أول حل تحليلي مغلق مغلق لتسعير خيارات النوع الأوروبي وأنواع معينة من الخيارات الأمريكية، مثل خيارات المكالمات الأمريكية على الأسهم غير المدفوعة للأرباح. "إن نموذج تسعير الخيار الذي طوره بلاك آند سكولز ووسعه ميرتون أدى إلى معادلات تفاضلية جزئية تحكم قيمة الخيار" شوارتز (1976).

 

طور بلاك أند سكولز (1973) نموذجهما على أساس نظرية عدم المراجحة، "إذا كانت الخيارات مسعرة بشكل صحيح في السوق، فلا يجب أن يكون من الممكن التأكد من الأرباح من خلال إنشاء محافظ للمراكز الطويلة والقصيرة في الخيارات وأساسها الأسهم "بلاك آند سكولز (1973).

 

قيم نموذج بلاك آند سكولز (1973) الخيارات الأوروبية على الأسهم التي لا تدفع أرباحًا، ومع عدد من الافتراضات المقيدة تمامًا، وأسعار الفائدة الثابتة والمعروفة، فإن الأسواق خالية من الاحتكاك مع عدم وجود تكاليف معاملات وعقوبات للبيع على المكشوفنموذج بلاك آند سكولز (1973) يفترض أيضًا أن الأسهم الأساسية تتبع نزهة عشوائيةبسبب كل هذه الافتراضات، كان نموذج التسعير Black and Scholes (1973) المقترح سهل الاستخدام، ولا توجد سوى الحاجة إلى إدخال القيم المطلوبة في معادلة التسعير المقترحةالنموذج الذي اقترحوه لا يأخذ في الاعتبار التمرين المبكر للخيار، لذلك فهو غير دقيق لتسعير الخيارات الأمريكية.

 

أحد أشهر نماذج التقريب التحليلي التي تبدأ من نموذج بلاك آند سكولز (1973) وتعديله للنظر في سيناريو استراتيجيات التمرين المبكر هو العمل الذي قام به بارون أديسي ووايلي (1987) والذي اعتمد على الورقة التي كتبها ماكميلان ( 1986).

 

يعتبر Baron Adesi and Whaley (1987) أن معادلة التفاضل الجزئي Black and Scholes (1973) يجب أن تنطبق على علاوة التمرين المبكر لأن هذا هو مجرد الفرق بين أسعار الخيار الأمريكي والأوروبي، والتي يتم تسعيرها أيضًا بنفس التفاضل الجزئي معادلةبعد بعض التحول ينتهي مع حل بسهولة من خلال عملية تفاعلية معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.

 

عندما لا يمكن اشتقاق حلول النماذج المغلقة، مثل نموذج التقييم بلاك آند سكولز (1973)، يجب تطوير طرق رقميةهذه هي طرق حسابية حيث يتم نمذجة قيم الأصول الأساسية حتى الاستحقاق ويتم اشتقاق سعر الخيارات منها. في حالة الخيارات الأمريكية، تعد هذه عملية معقدة، حيث قد يتعين تعديل تغييرات الأسعار النموذجية لتشمل مدفوعات الأرباح ويجب أن يشتمل اشتقاق سعر الخيار أيضًا على إمكانية التمرين المبكر.

 

طور كوكس وروس وروبنشتاين (1979) نموذجًا بسيطًا للشبكة الزمنية المنفصلة للتعامل مع تعقيد تقييم الخيار، حيث اعتبروا طرق Black and Scholes (1973) "متقدمة جدًا وتميل إلى حجب الاقتصاد الأساسي" كوس، روس وروبنشتاين (1979). إن استخدام نماذج شعرية مثل تلك التي كتبها كوكس وروس وروبنشتاين (1979) هي بساطة تطبيقها.

 

يتمثل العيب الأكثر أهمية لنموذج كوكس وروس وروبنشتاين (1979) في زيادة دقته في زيادة عدد الفترات الزمنية، من أجل الاقتراب من نموذج زمني مستمر، مما سيزيد بشكل كبير من الوقت الحسابي اللازم لمعالجة الشجرة بأكملها من أجل اشتقاق قيمة الخيار.

 

آخرون مثل هال وأبيض (1988)، (1993) وتريجورجيس (1991) مددوا نموذج كوكس وروس وروبنشتاين (1979).

يقدم Hull and White (1988) دراسة حول استخدام نماذج شعرية للأصول الأساسية ذات الأرباح الموزعة المعروفة بدلاً من العوائد المقسمة المعروفةكما يعتبرون أن استخدام عنصر تحكم متغير لتسعير خيار عدديًا، بواسطة نموذج شبكي، باستخدام سعر خيار مماثل محسوبًا تحليليًا. بينما يقترح Trigeorgis (1991) "تنوعًا قياسيًا في تحويل خيار الخيارات ذي الحدين المصمم للتغلب على مشاكل الاتساق والاستقرار والكفاءة التي تمت مواجهتها في Cox و Ross و Rubinstein (1979)" مع التركيز على تسعير الخيارات الغريبةيقدم Hull and White (1993) أيضًا تطبيقًا لإجراءات ذات الحدين وثلاثية الحدود للخيارات المعتمدة على المسار الغريب، حيث طوروا نموذجًا أسرع من محاكاة مونت كارلو وأسرع من الطرق العددية الأخرى.

عادة ما تكون الإجراءات التحليلية قابلة للتطبيق على العوائد البسيطة للخيارات الأمريكية، ولكن في الحالات التي لا يكون فيها هذا ممكنًا، يجب تطوير حلول رقمية. يقدم Geske و Shastri (1985) مقارنة تفصيلية بين طرق الشبكة والطرق الرقمية المختلفة وطرق الفروق المحدودة وطرق المحاكاة الأخرى.

 

كان النموذج الذي اقترحه برينان وشوارتز (1978) لتقييم الخيارات هو النهج الأول الذي استخدم طريقة الفروق المحدودةتم استخدام هذا النهج لأن معظم الأوقات لا يوجد حل تحليلي لمشكلة تسعير الخيار. تستخدم طريقة الفروق المحدودة معادلة الحرارة المشتقة من PDE لـ Black and Sholes للحصول على تقريب سعر الخياريذهب كورتادون (1998) إلى أبعد من ذلك لتقليل خطأ التقريب لنموذج برينان وشوارتز (1978) ولكنه يطبق نتائجه فقط على مدفوعات الخيار البسيط.

يقدم Geske و Shastri (1985) وصفًا جيدًا لطريقة الفروق المحدودة: "تقوم تقنية الفروق المحدودة بتحليل المعادلة التفاضلية الجزئية (...) باستخدام تقديرات منفصلة للتغيرات في قيمة الخيارات للتغييرات الصغيرة في الوقت أو سعر السهم الأساسي لتكوين معادلات كتقريب للمشتقات الجزئية المستمرة. " عادة ما يتم التقريب باستخدام نظرية الاختلافات الأمامية أو الخلفية أو المركزية، والتي تؤدي على التوالي إلى مخططات صريحة، ضمنية ومخططة كرنك نيكولسون، سيتم عرض الإجراء المستخدم في هذه الدراسة بشكل أكبر في الورقة.

 

في هذه الحالة كما هو الحال مع معظم طرق خيارات التسعير، فإن العيب الأهم هو الثنائية بين الدقة ووقت المعالجة. من أجل زيادة الدقة، يجب أن تكون خطوات تغيير الوقت والمخزون أصغر، وزيادة عددهم وعدد الحسابات التي يجب إجراؤها، تؤثر هذه المشكلة أيضًا على استقرار وتقارب الطرق.

 

يقدم Geske و Shastri (1985) وصفًا جيدًا لطريقة الفروق المحدودة: "تقوم تقنية الفروق المحدودة بتحليل المعادلة التفاضلية الجزئية (...) باستخدام تقديرات منفصلة للتغيرات في قيمة الخيارات للتغييرات الصغيرة في الوقت أو سعر السهم الأساسي لتكوين معادلات كتقريب للمشتقات الجزئية المستمرة. " عادة ما يتم التقريب باستخدام نظرية الاختلافات الأمامية أو الخلفية أو المركزية، والتي تؤدي على التوالي إلى مخططات صريحة، ضمنية ومخططة كرنك نيكولسون، سيتم عرض الإجراء المستخدم في هذه الدراسة بشكل أكبر في الورقة.

 

في هذه الحالة كما هو الحال مع معظم طرق خيارات التسعير، فإن العيب الأهم هو الثنائية بين الدقة ووقت المعالجة. من أجل زيادة الدقة، يجب أن تكون خطوات تغيير الوقت والمخزون أصغر، وزيادة عددهم وعدد الحسابات التي يجب إجراؤها، تؤثر هذه المشكلة أيضًا على استقرار وتقارب الطرق.

 

طريقة أخرى مستخدمة لحل مشكلة تسعير الخيار، خاصة للخيارات الأمريكية المعتمدة على المسار هي استخدام المحاكاة. هذا يعني أن سعر الخيار مشتق من سعر أصل أساسي محاكى، عادة باستخدام طريقة محاكاة مونت كارلو. كان بويل (1977) وشوارتز (1977) رائدين في استخدام محاكاة مونت كارلو التي تستخدم حاليًا لتسعير عقود الخيارات المعقدةإن طريقة محاكاة مونت كارلو قوية جدًا من حيث مرونتها في توليد عوائد الأصول الأساسية للخيارات، عن طريق تغيير المتغيرات العشوائية المستخدمة لتوليد العملية، يمكن الحصول على توزيع عوائد جديد بسهولة، Boyle (1977).

يقدم بويل (1977) تقنية مونتي كارلو لتسعير الخيار الأوروبي حيث يوجد دفع أرباح، ولكن شوارتز (1977) كان الرائد الحقيقي، ويسعر الخيارات الأمريكية، مع الأصول الأساسية التي تدفع أرباحًا منفصلة، وكذلك اشتقاق استراتيجية مثالية في وقت مبكر ممارسة الخيار، وهو النقطة الحاسمة لتسعير خيارات الكتابة الأمريكيةركز شوارتز (1997) على نوع معين من العقود، يضمن ذلك، لذا فإن نموذجه الأول ليس عادلاً على خيار النوع الأمريكي.

 

كان Tilley (1993) من أوائل من ركزوا بشكل كامل على تسعير الخيار الأمريكي باستخدام طريقة محاكاة مونت كارلو حيث ذكر أن طرق المحاكاة كانت محجوزة للخيارات الغريبة أو غيرها من منتجات الديون المعقدةيتم تطبيق النتائج التي توصل إليها فقط على الخيارات الأمريكية بشأن الأسهم التي لا تدفع أرباحًا، لكنه يطور جزءًا مهمًا من النموذج وهو خيار التمرين المبكر الأمثل.

 

يقدم Carriere (1996) تطويرًا لطريقة محاكاة مونت كارلو التي قدمتها Tilley (1993). تقدم الورقة التي كتبها Carriere (1996) نموذجًا حيث تعتمد استراتيجية التمرين المبكر الأمثل على التوقعات المشروطة لعمليات ماركوف من خلال إجراء تراجع غير معلمي على مسارات إرجاع الأصول الأساسية المحاكاة.

 

قام Brodie and Glasserman (1997) بتوسيع الدراسات السابقة من خلال النظر في الحدود المتقاربة العليا والسفلى لسعر الخياريتم حساب هذه الحدود المقدرة باستخدام انحياز مرتفع ومنخفض، والذي "يؤدي الجمع بين المُقدِّرين إلى الحصول على فاصل ثقة للسعر الحقيقي". برودي وجلاسرمان (1997)

 

واحدة من أهم الأوراق، وربما واحدة من أكثر الأوراق المستخدمة، هي ورقة Longstaff & Schwartz (2001). نموذج التقييم الخاص بـ Least Squares Monte Carlo (LSM) بسيط للغاية ومباشر إلى الأمام والذي يقترن بدقة الطريقة التي جعلته مشهورًايمكن وصف تقدمهم الأعظم على النحو التالي: "إن مفتاح هذا النهج هو استخدام المربعات الصغرى لتقدير المردود المتوقع المشروط لصاحب الخيار من الاستمرار" Longstaff & Schwartz (2001). قاموا بتطبيق نموذجهم على سلسلة من الخيارات الأمريكية المعتمدة على المسار الغريب بنجاح كبير.

الفصل 3 - تسعير طرق الخيارات الأمريكية

3.1 نماذج أسعار الأصول

تفترض أساليب التسعير Black and Scholes (1973) و Merton (1973) التي تعد الأساس لمعظم هذه الورقة أن عوائد الأسهم تتبع حركات براونية هندسية، مع توزيع أسعار الأسهم بشكل طبيعي.

 

يمكن تمثيل عوائد الأسهم بالمعادلة التفاضلية العشوائية التالية،

 

(3.1.1)

حيث St هو سعر الأصل في الوقت t، هو العائد المتوقع للأصول، هو التقلب الفوري للأصول و Wt هو عملية Wiener.

3.2 التقريب التحليلي من قبل البارون أديسي ووايلي (1987)

طور Barone Adesi and Whaley (1987) طريقة لتقريب سعر الخيارات الأمريكية بشكل تحليلي وسهلواعتبروا أن معادلة تسعير الخيار الأمريكي والأوروبي تتمثل في المعادلة التفاضلية الجزئية (3.2.1) التي طورتها Black and Scholes (1987) و Merton (1987)،

 

(3.2.1)

افترض Barone Adesi and Whaley (1987) أنه إذا كان هذا صحيحًا، فيمكن تمثيل قسط التمرين المبكر للخيار الأمريكي، وهو فرق السعر بين أسعار خيارات الاتصال الأمريكية والأوروبية (3.2.2)، بنفس المعادلة التفاضلية الجزئية (3.2.3).

 

(3.2.2)

(3.2.3)

المعادلة أعلاه بعد بعض التحول، الموضحة في ورقة Barone Adesi and Whaley (1987)، وتطبيق تقريب مصطلح يميل إلى الصفر، ينتج المعادلة التربيعية التالية،

 

(3.2.4)

حيث (3.2.5) و (3.2.6) و (3.2.7). المعادلة (3.2.4) "هي معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية مع حلين مستقلين خطيًا للنموذجيمكن إيجادها عن طريق استبدال (3.2.8) في "المعادلة (3.2.4) Barone Adesi و Whaley (1987)،

 

(3.2.9)

مع حل عام للنموذج (3.2.10)

 

عندما يتم تطبيق شروط حدود الخيار الأمريكية على الحل أعلاه والنظر في ذلك، يجب أن تكون مساوية للصفر كما هو الحال عندما يميل سعر الأصل إلى الصفر وكذلك سعر الخيار، مما يؤدي إلى معادلة تسعير خيار الاتصال الأمريكية التالية، Barone Adesi و Whaley ( 1987)،

 

(3.2.11)

من (3.2.9) لدينا القيمة لذلك فإن القيمة الوحيدة المفقودة هييمكن حساب ذلك بشكل تفاعلي مع مراعاة شرط حد آخر لخيارات الاتصال الأمريكية. نحن نعلم أنه في التمرين المبكر، لن تكون المكافأة أعلى من S - X، لذلك من قيمة الأصول الأساسية الحاسمة، يجب أن يكون منحنى مكافأة الخيار مماسيًا لمنحنى S - X، مما يعني أنه أسفل قيمة الأصول الحرجة تكون معادلة التسعير ممثلة بـ (3.2.11)، بارون أديسي ووايلي (1987).

 

يتم عرض الخوارزمية التي قدمها Barone Adesi and Whaley (1987) لمشكلة التسعير أعلاه في الورقة في القسم المخصص لتنفيذ نماذج تسعير الخيارات الأمريكية.

 

3.3 طرق شعرية

اقترح كوكس وروس وروبنشتاين (1979) نموذجًا حيث يرتفع أو ينخفض الأصل الأساسي من خطوة زمنية إلى أخرى بمقدار نسبي معين ومع احتمال معين حتى الاستحقاقنظرًا لخصائص نموذج سعر الأصول صعودًا وهبوطًا، تتميز هذه الأنواع من النماذج بشجرة ذات حدين أو، في حالة وجود حركة ثالثة محتملة، تتميز بشجرة ثلاثية الحدود، وبالتالي تسمى شجرة ذات حدين أو ثلاثي الحدود عارضات ازياء

 

سيتم اشتقاق سعر الخيار بشكل متكرر من تاريخ الاستحقاق، بسبب حالة الحدود كما تمت الإشارة إليه من قبل أن سعر الخيار لا يعرف إلا على وجه اليقين عند الاستحقاق.

 

هذا يعني أن سعر الخيار يتم حسابه عند الاستحقاق وبشكل متكرر في كل عقدة حتى القيمة الأولية، عن طريق الخصم إلى الوراء بسعر الفائدة الخالي من المخاطر والاحتمالات ذات الصلة. نظرًا لخصائص الخيارات الأمريكية، يجب على النموذج التحقق مما إذا كان من الأفضل ممارسة الخيار في كل عقدة أو إذا كان لديه ميزة المتابعة إلى العقدة التالية، على سبيل المثال في حالة مدفوعات الأرباح

في حالة أنه من الأفضل ممارسة الخيار عند عقدة معينة، فإن سعره سيكون مساوياً للقيمة الجوهرية في نفس العقدة. سيتم فحص كل عقدة للتأكد من أمثلية ممارسة الخيار أم لا، حتى نصل إلى النقطة الأولية حيث نريد تسعير الخيار.

 

3.3.1 نموذج الشجرة ذات الحدين

يبدأ النموذج في البناء لخيار أمريكي لسهم غير مدفوع للأرباح وبعد ذلك يتم النظر في سيناريو مدفوعات الأرباح واستراتيجية التمرين المبكر المثلى.

 

كما هو مشار إليه قبل أن يرتفع السهم وينخفض بمقدار معين من فترة إلى أخرى، إذا كانت u هي الحركة الصاعدة و d الحركة الهابطة، فيمكن حسابها على أنها، (3.3.1.1) و (3.3.1.2) كما في كوكس وروس وروبنشتاين (1979). في حالة عدم وجود شروط التحكيم، من الممكن حساب احتمالية الحركات الصاعدة والهابطة، مع تعريف الأعلى على أنه (3.3.1.3) حيث من تعريف الاحتمال والحركة الهابطة كـ (3.3.1.4).

 

يمكن أن يكون للشجرة التي تم تشكيلها باستخدام هذه المواصفات من كوكس وروس وروبنشتاين (1979) التمثيل البياني التالي

 

يتم احتساب الخيار من شجرة ذات حدين سعر الأصول. شرط حدود الاستحقاق لخيار أمريكي، هو أن المردود يساوي، لدينا بالفعل S في كل عقدة استحقاق من نموذج سعر الأصول، حتى نتمكن من حساب سعر الخيار إلى الوراء كتوقع للمردود المستقبلي لل اختيار.

 

في كل عقدة نقوم بحساب توقعات العوائد المستقبلية، حيث سيكون سعر الخيار مركبًا من التوقعات. يمكن تمثيلها في حالة الفترة المتعددة لإجراء مكالمة كما في Cox و Ross و Rubinstein (1979)،

 

يتم حساب أسعار الخيار كتوقع للمردود المستقبلي للخيار باستخدام الاحتمالات المحايدة للمخاطر المرجحة لكل من الحركة الصعودية والحركة الهابطة ثم يتم خصمها بسعر الفائدة الخالي من المخاطر. تم العثور على القيمة ذات الحدين لكل عقدة، بدءاً من الخطوة الزمنية النهائية، والعمل للخلف إلى

 

ما رأيك بما قرأت؟
اذا أعجبك المقال اضغط زر متابعة للكاتب و شاركه مع الأصدقاء على مواقع التواصل الاجتماعي حتى يتسنى للكاتب نشر المزيد من المقالات الجديدة و المفيدة و الإيجابية..

هل تحب القراءة؟ كن على اطلاع دائم بآخر الأخبار من خلال الانضمام مجاناً إلى نشرة جوَّك الإلكترونية

تعليقات

يجب أن تكون مسجل دخول لإضافة تعليق.

نبذة عن الكاتب