أصول ومبادئ الرياضيات الإقليدية

إن المتفق عليه أنه لا يمكن أن يتأسس علم دون مبادئ أو أصول ينطلق منها، وهذا الأمر ينطبق على الرياضيات في حد ذاتها، وهذا ما يؤكده أرسطو في كتابه التحليلات، فلقد توصل إلى القول إن اليقين الرياضي له أصول تنبع من طبيعته البرهانية.

مبادئ الرياضيات الأساسية

تلك المبادئ والأصول منها المشترك بين كل العلوم، وهي: مبدأ العقل، ومبدأ الهوية، ومبدأ عدم التناقض، ومبدأ الثالث المرفوع.

أما فيما هو خاص بالرياضيات فهي ثلاثة مبادئ أساسية وهي: البديهيات والمسلمات والتعريفات.

وهذه المبادئ صنَّفها إقليدس في كتابه «الأصول» الذي يتميز بجانبه الواسع في الهندسة، وبطابعه البرهاني الذي يقوم على الأسلوب المنطقي الدقيق.

إن إقليدس في تنسيقه لأسس ومبادئ بنائه الهندسي لم يكن من عدم، لقد أراد لنسقه هذا أن يكون منطقيًّا استنتاجيًّا يعبر عن العلاقة التي تربط هذين العلمين بعضهما ببعض، ونقصد بهذا الرياضيات والمنطق.

فقد استفاد إقليدس من تحليلات أرسطو أسس البراهين الهندسية مثل: البديهيات والمسلمات والتعريفات في إقامة نسقه الهندسي.

هذه المبادئ الثلاثة التي أقام عليها إقليدس هندسته منها ما غير قابل للبرهان، ونقصد بهذا البديهيات التي تُعد واضحة بذاتها، ومنها ما مستخدم للبرهنة، ونقصد بهذا المسلمات التي لا تعبر عن الوضوح ولكنها تستخدم للبرهنة، وهي على النحو التالي:

قد يهمك أيضًا أهم 10 مواقع إلكترونية لتعليم الرياضيات

البديهيات AXIOMES 

تُعد البديهيات أفكارًا واضحة بذاتها لا يمكن أن تؤدي إلى ما أبسط منها، مثل الكل أكبر من الجزء، وقد وضعها إقليدس أساسًا لبرهانه التحليلي، فشرطها أن تكون بهذا الوضوح.

وهنا قدَّم باسكال قاعدة قائلًا: «يجب ألا نطلب من البديهيات سوى أمور واضحة بذاتها كل الوضوح.. ليس علينا أن نحاول البرهنة على الأمور التي تبلغ بذاتها حدًّا من الوضوح يستحيل معه على المرء أن يجد ما أوضح منها ليبرهن عليها».  

ومثال ذلك من بديهيات إقليدس نذكر:

· الأشياء المساوية لشيء واحد مساوية بعضها لبعض.

· إذا أضيفت أشياء متساوية إلى أشياء متساوية تكون المجموعات متساوية.

· إذا طُرحت أشياء متساوية من أشياء غير متساوية تكون البقايا غير متساوية. 

· الكل أعظم من الجزء.

· إذا تقاطع خطان مستقيمان لا يكونان موازيين لخط آخر.

· جميع الزوايا القائمة متساوية. 

إننا إذا أمعنَّا النظر في هذه القضايا، فإنه يمكننا القول إنها توافق التعريف الذي وضعه «باسكال Pascal»  وهو بدوره يتفق مع تعريف إقليدس، فهي أمور واضحة للذهن لا يختلف حولها اثنان ولا يوجد ما أبسط منها ليفسرها أو ليبرهن عليها.

قد يهمك أيضًا تعلم حب الرياضيات فى 4 خطوات

المسلمات  POSTULAS

توجد قضايا رياضية ليست واضحة بذاتها، لكنها لا تحتاج إلى أن يبرهن عليها، فهي ليست كالبديهيات لكن يسلم بها وهي من الأسس التي قامت عليها هندسة إقليدس.

والمطلوب من الرياضي هنا التسليم بها دون برهان، فهي بالنسبة للرياضيين مطلب أساسي لا يُختلف فيه لبناء نسق رياضي متماسك وهو كل ما يبررها. ومن مسلمات إقليدس نذكر:

· يمكن أن يوصل بين نقطتين بخط مستقيم أو غير مستقيم.

· يمكن أن يخرج خط مستقيم محدود على استقامته في جهتيه إلى حد ما يراد.

· يمكن أن ترسم دائرة على أي مركز فرض وعلى أي بعد فرض منه.

· الزاوية الكبرى من كل مثلث يقابلها الضلع الأطول.

· إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين وجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين فالخطان متوازيان. 

وهذه المسلمة الأخيرة الذكر هي التي كانت أساسًا في التحول الجذري الذي عرفه تاريخ الرياضيات، وحسبما ألفنا ذكرها بالقول «الخطان المتوازيان لا يلتقيان».

قد يهمك أيضًا مثلث باسكال.. معلومات لم تعرفها عن عالم الرياضيات

التعريفات DEFINITIONS 

في القضايا الرياضية منها ما مبرهن ومنها ما غيـر قابل للـبرهنة، كذلـك هي المفاهيـم الرياضية منهـا ما معرَّف ومنهـا ما غيـر قابـل للتعريـف.

أما التعريفـات فهـي فـي الرياضيـات عبارة عـن مجموعـة من القضـايا تشرح أو تفسـر الحدود الأولية، ولا يمكننـا أن نطلـق عليها الحكم بالصدق أو الكـذب.

وقد عرفهـا إقليدس بالحدود قائلًا في كتابه الأصول: «الحد هو إيضاح معنى لفظة اصطلاحية، ويجب أن يكون تامًّا لا شك فيه، وأن تكون ألفاظه المفردة اعتيادية مفهـومـة». ومن بين التعريفات التي ذكرها إقليدس: 

· النقطة هي شيء له وضع فقط وليس له طول ولا عرض ولا عمق.

· الخط طول بلا عرض. 

· خطان لا يتوافقان في نقطتين منهما دون أن يتوافقا بالكلية يُسميان مستقيمين.

· الخط المستقيم هو البعد الأقرب بين نقطتين.

· السطح أو البسيط هو ما كان له طول وعرض بلا عمق.

· فرع نهايات سطح خطوط.

· موقع تقاطع خطين سطح. 

· السطح المستوي هو سطح إذا فرضت فيه نقطتان فالخط المستقيم الموصل بينهما يقع جميعه في ذلك السطح.

· الزاوية المستقيمة البسيطة هي انفراج خطين مستقيمين التقيا بنقطة وليسا على استقامة واحدة. 

· وبقيت هذه المبادئ الأساسية واضحة ومقيمة لعرش الرياضيات على مدى الزمن.

قد يهمك أيضًا أصول ومبادئ الرياضيات حسب نظرية إقليدس

المراجع

•إقليدس، أصول الهندسة، الكتاب الأول، ترجمة: كيرتيليوس فان ديك، ط1، 1963.

•محمد ثابت الفندي، فلسفة الرياضة، دار النهضة العربية، بيروت لبنان، ط1، 1969.

•محمد محمد قاسم، المدخل إلى فلسفة العلوم، دار المعرفة الجامعية، مصر، ط1، 2000.

•نقلًا عن بول موي، المنطق وفلسفة العلوم، ترجمة: فؤاد زكريا، دار الوفاء، الإسكندرية.